【微分積分初心者講座１】教科書無しで予習できる関数の極限・導関数

こんにちは、レンです

• 微分積分予習したい
• 微分積分復習したい
• 微分積分って何

とは思うものの、全然理解できないって人いませんか？

僕はそうでした

高専１年生の頃に微積を予習しようと思って教科書を見たものの、何が書いてあるかほとんど理解できませんでした

その時の僕自身に教えるレベルで今回この記事を書きました

最初にこの記事で大まかな内容を理解し、自分で教科書を進めていけばスムーズに勉強できるかと思います

ただ、こういった記事はまだ慣れていないので、これから試行錯誤してきれいなノートを載せて行ければと思います

読んでくれる方がいましたら、別の分野の初心者講座も作りたいと思います

それでは、始めます

関数の極限

ここでは極限の雰囲気をつかんでもらいます

極限の書き方と計算

ある関数のをに近づけたとき、その値がに近づくことを数式では次のように書きます

• limというのはlimit（極限）の意味です

 この書き方の意味、大事なのでもう一度言います

関数のをに近づけたとき、の値がに近づくという意味です

ちょっと、意味がわからない

ですよね、なので計算例を見てもらいます

この式は、のをに近づけたとき、その値がに近づくことを表します

問１）を見てください

実際には、①や②のようなものが与えられ、"この極限を求めよ"といった問題が出されます

このような単純なものは単に形式的に代入するだけです

実際に①、②を計算してみてください

答えは、①が１、②が２です

これは簡単ですね

約分パターン

上のような簡単なものばかりでは問題になりません

次に紹介するのはこういったパターンです

単純に代入するとといった面白い状況がでてきます

イメージは　　のようなものです

このままでは計算できないので、約分します

すると、形式的に代入しても、意味不明な値ではなくなります。それが答えです

パターン

紹介の前に、１つ新しいことを覚えてください

極限の世界では、絶対値がめっちゃデカイことを　∞　と書きます

イメージは　　のような数字です

 

このような大きい数字で、１や２といった普通の数字を割ったら、その値はほぼ０ですよね

 

そうなのです、ですから、

この２つの極限はどちらも０ということになります

さて、ここで次のパターンを見てください

これは単純に代入するととなるパターンです

先ほどと同様に、このようなよくわからない数字では極限を求めたことになりません

そこで、分子分母を数式の中に出てきている最大次数ので割ってあげます

すると、の極限は０なので、有限の値に落ち着きます。それが答えです

最後に次のパターンを覚えてください

極限の計算はとりあえず、この３パターンを覚えましょう

パターン

こういうやつです

分母を１とみて、分子を有理化するようにあるものをかけると、極限値を求めることが出来ます

この場合は、残念ながら、０になりますが...

以上、３パターン理解できたでしょうか！極限はここがスタートです

極限のまとめと計算練習

ここまでの内容のまとめです

とりあえず、最低限理解してほしい内容です

この初心者講座では、計算練習というよりも理解して自分の勉強につなげてもらうことを目標としているので、計算問題は少ないです

どうぞ、

答えは、①が１、②が０、③が１　です

極限の内容は以上です

次の内容でも使いますよ～

微分係数・導関数

ここでは、微分係数の意味、導関数ってなんだろう、といったことを理解してもらいます

平均変化率（変化の割合）

もしかすると、中学校で習ったかもしれませんが、変化の割合ってわかりますか？

これなのですが。

 平均変化率というのは、yの増加量をxの増加量で割ったものです

２点の傾きを表します

ちなみに、傾きというのは、

• "が１変化したらがいくら変化するか"を表すものです

 理解できましたか？これは図形的な意味と一緒に覚えてくださいね

微分係数

実は、微分係数というのは、上の図の下部にある例で、をにくっつくくらい近づけたときの平均変化率の値なのです

つまり、

数式で書くとこのようになり、における微分係数はとかきます

この微分係数は点Aと点Bがめっちゃ近づいたときの直線ABの傾きなので、

点Aでの接線の傾きと言えます

大事なので、もう一度。

• 微分係数＝接線の傾き

ここで、 をとすると、微分係数は次のように書き換えられます

ちょっと、にらめっこして、図形的な意味を理解できるように頑張ってください

では、実際に計算して見ましょう。イメージがわくと思います

例えば、"のグラフのにおける接線の傾きを求めましょう"というような問題が出たとします

微分係数は接線の傾きでしたね

ですので、先ほど紹介した微分係数の定義式に当てはめて計算すると、この答えは12となります

これは、が１増加するとが12増加しますよ、ということを表します

関数の極限の計算を使っているので、読んでいるうちに忘れていましたら、もう一度その部分を読んで思い出してくださいね

導関数

 ここで、ひとつ疑問が生じます

これらをゼンブ求めるのに、面倒な計算を行うのは時間の無駄ではないか。

そうなんです、ゼンブ求める必要はありません

 このように考えればいいのです

における微分係数をまとめて求めるもの、つまりあるにおける微分係数という関数を求めて、あるを代入すればよいですね

そんな便利なものがあるのか。

はい、あるんです

それが導関数です、そして導関数を求めることを"微分する"といいます

具体的に見ていきましょう

まず、の導関数（＝微分係数を求める関数）を求めます

この計算を見て規則性を見つけられたでしょうか

実は、

こういうことです

のべき乗を微分すると、指数が前に飛び出して、次数が１つ下がります

もう一度、先ほどの計算を見直してみてください

ということで、導関数が求まりました。

では、これがどのように使われるかというと、

例えば、のにおける微分係数（＝接線の傾き）を求めるときは、この導関数にを代入するだけです

同様に、というように、どんなのときの接線の傾きも求められます

導関数の計算練習

ひとつだけ補足しておきますが、計算した答えは、問題で与えられた形で答えましょう！

微分係数・導関数のまとめ

これだけはおさえてほしい内容です

逆に、これだけおさえればスムーズに自学できると思います

チェックシート

最後に、これまでの内容を復習するチェックシートを載せておきます

何も見ずに完璧に答えられるように、反復して練習しましょう

これで、関数の極限・導関数の内容は以上です

初心者講座、もう少し見やすくなるように工夫していきます

最後まで読んでくれて、ありがとうございました

気に入ったら、読者になるボタン、twitterのフォロー等、よろしくお願いします